Question

如图,抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点c,点o为坐标原点,

Answer 1

如图,抛物线y=-x ² +bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点O为坐标原点,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3,
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）P是y轴上一动点（且不与A,B点重合）,以P,O,B为顶点的三角形与△AOC相似,求出满足条件的点P的坐标．
 
（1）∵四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,
∴点C的坐标为（0,3）,点E的坐标为（2,3）．
∵抛物线y=-x ² +bx+c经过点C、E,则
 c＝3  3＝−4+2b+c,
解得b＝2c＝3,
∴该抛物线解析式为y=-x ² +2x+3；

（2）由（1）知,抛物线解析式为y=-x ² +2x+3．
易求A（-1,0）,（3,0）,
则OA=1,OB=3．
①当△AOC∽△POB时,OAOP=OCOB,即1OP=33,
解得,OP=1,
故P ₁ （0,1）,P ₂ （0,-1）；
②当△AOC∽△BOP时,OAOB=OCOP,即13=3OP,
解得,OP=9,
故P ₃ （0,9）,P ₄ （0,-9）．
综上所述,符合条件的点P的坐标是P ₁ （0,1）,P ₂ （0,-1）,P ₃ （0,9）,P ₄ （0,-9）．