高一的数学证明题

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赵皛曹玉书
2020-07-21 · TA获得超过1096个赞
知道小有建树答主
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三垂线定理  
三垂线定理

平面
内的一条
直线
,如果和穿过这个平面的一条
斜线
在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
  三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
  
  1,三垂线定理描述的是PO(斜线),AO(射
  影),a(直线)之间的垂直关系.
  2,a与PO可以相交,也可以异面.
  3,三垂线定理的实质是平面的一条斜线和
  平面内的一条直线垂直的判定定理.
  关于三垂线定理的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线.
  至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的.
  从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂,
  二射,三证.即
  第一,找平面(基准面)及平面垂线
  第二,找射影线,这时a,b便成平面上的一条直线与
  一条斜线.
  第三,证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直.
  注:
  1°定理中四条线均针对同一平面而言
  2°应用定理关键是找"基准面"这个参照系
  用向量证明三垂线定理
  已知:PO,PA分别是平面a的垂线,斜线,OA是PA在a内的射影,b属于a,且b垂直OA,求证:b垂直PA
  证明:因为PO垂直a,所以PO垂直b,又因为OA垂直b
向量PA=(向量PO+向量OA)
  所以向量PA乘以b=(向量PO+向量OA)乘以b=(向量PO
乘以
b)

(向量OA
乘以
b
)=O,
  所以PA垂直b。
  2)已知:PO,PA分别是平面a的垂线,斜线,OA是PA在a内的射影,b属于a,且b垂直PA,求证:b垂直OA
  证明:因为PO垂直a,所以PO垂直b,又因为PA垂直b,
向量OA=(向量PA-向量PO)
  所以向量OA乘以b==(向量PA-向量PO)乘以b=(向量PA
乘以
b
)减
(向量PO
乘以
b
)=0,
  所以OA垂直b。
  2。已知三个平面OAB,OBC,OAC相交于一点O,角AOB=角BOC=角COA=60度,求交线OA于平面OBC所成的角。
  向量OA=(向量OB+向量AB),O是内心,又因为AB=BC=CA,所以OA于平面OBC所成的角是30度。
三垂线定理的逆定理
  
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射线垂直。

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