Question

若函数f(x)=loga(2x^2+x)(a>0,a不等于1)在区间（0,2分之1）内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间是多少？

网上有这到题的解法，但是他们为什么不讨论a的取值范围，比如说0<a<1时是减函数，1<a时是增函数，就得出了（负无穷大，二分之一）这个答案，这是为什么呢？

我的思路是当0<a<1时有2x^2+x< 1, 当1<a时有2x^2+x>1，同时还要满足就2x^2+x不等于零，但是讨论起来好麻烦啊，搞来搞去就搞昏了，我还尝试用导数的方法，但还是不符合答案，怎么回事呢? 我的思路有错吗？？

Answer 1

你可以把f(x)看成一个复合函数。判断复合函数增减性有一个口诀就是“同增异减”，即复合函数的两部分增减性一致，复合函数为增函数，反之为减函数。
那么来看这道题。
f(g(x))=loga[g(x)]
g(x)=2x^2+x=2*(x^2+x/2+1/16)-1/8=2(x+1/4)^2-1/8
在区间(0.1/2)中，2x^2+x的值域为(0,1)
讨论：
1、当0<a<1时，loga(2x^2+x)>0，满足条件f(x)>0
2、当a>1时，loga(2x^2+x)<0,不满足条件。
所以0<a<1.f(x)为减函数
因此当g(x)也为减函数时，复合函数f[(gx)]为增函数
g(x)的递减区间为(-无穷大，-1/4)
复合函数定义域为:2x^2+x>0,x>0或x<-1/2
因此函数的单增区间为(-无穷大，-1/2)

追问

1、当00，此时对数函数是减函数，那应该必须满足2x^2+x1时，此时对数函数为增函数，则有2x^2+x>1，解得 x>2\1或x<-1

这样分析还是得不到（负无穷大，-2\1）这个答案啊，我 的分析到底什么地方错了啊老师

追答

考虑对数函数的增减性，只要考虑底数跟1的关系就行了，不需要考虑真数吧？当然前提是真数要大于0.
你把真数和底数的关系搞混了。

追问

是的啊，首先讨论底数的范围确定增减性，真数等于1的时候对数函数才能等于0啊，所以当00的话必有真数小于1，当a>1时f(x)>0的话必有真数大于一啊

追答

之前不是已经讨论了在(0.1/2)这个区间内真数2x^2+x的取值范围是(0,1)了么？
因此只要在讨论在（0,1）这个区间内，a取什么值的时候，f(x)>0,显然在0<a<1时，满足条件。

追问

晕了，老师，麻烦你再结合讨论 a的取值和真数不能为零系统的讲一遍，谢谢！

追答

你看，这道题首先我先考虑了一下，在（0,2分之1）这个区间内，真数2x^2+x的取值范围，为(0,1)
那么原来的函数就相当于变成了f(t)=loga t（00,讨论a的取值范围。你可以结合图象判断一下，这个时候，是00,那么你去结合对数图象看一看，此时a是不是应该0<a<1？

Answer 2

当0<x<1/2时，0<2x^2+x<1,要使f(x)>0,只有0<a<1,所以f(u)=loga(u)是一个减函数，其中u=2x^2+x，很明显就是求u的减区间，即为x<1/2.