Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F。（1）求证：∠DCP=∠DAP

（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．
初二的菱形的作业

Answer 1

【分析：】（1）根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；
（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．
【解答：】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥BA，CD=BA，∴△CPD∽△FPB，∴DP/PB=CD/BF=CP/PF=1/2，
∴CD=1/2BF，CP=1/2PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=1/2PB，在Rt△PAB中，
PB^2=2^2+（1/2PB）^2，
解得PB=三分之四根号三，
则PD=三分之二根号三，
∴BD=PB+PD=2/3．

Answer 2

D