Question

圆的问题

如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，O是BC的中点，圆O与两腰相切，动点P在圆O上，过点P的圆O切线分别和AB、AC的延长线相交于点D、E。
（1）求证：∠ABC=1/2（∠D+∠E）。
（2）BD·CE的值是常量吗？若是常量，请求之；若不是，请说明理由。

Answer 1

如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，O是BC的中点，圆O与两腰相切，动点P在圆O上，过点P的圆O切线分别和AB、AC的延长线相交于点D、E。
（1）求证：∠ABC=1/2（∠D+∠E）。
（2）BD·CE的值是常量吗？若是常量，请求之；若不是，请说明理由。
解答：
（1）
显然三角形ABC为等腰三角形 所以∠ABC=∠ACB
所以
∠ABC=1/2（∠ABC+∠ACB）=1/2[180°-(∠A)]
在△ADE中有180°=∠A+∠D+∠E
所以
∠ABC=1/2（∠ABC+∠ACB）=1/2[180°-(∠A)]=1/2（∠D+∠E）
证毕
（2）下面的方法使用了高一数学圆的方程内容
建立直角坐标系 依题意令B（-3,0）C(3,0) A（0，a)
则显然
直线AB方程为：x/-3+y/a=1 （①）
直线AE方程为：x/3+y/a=1 （②）
圆O的半径为O到直线AB或AC距离d=|0/3+0/a-1|/√(1/3)^2+(1/a)^2=3a/√9+a^2
所以圆O方程为:x^2+y^2=R^2=9a^2/(9+a^2)（③）
不妨设点P坐标为P(xP,yP)
则DE方程为(xP)x+(yP)y=R^2=9a^2/(9+a^2)（④）
显然DE与AD交点D为方程①④联立后的解
联立 方程①④
有xD=-3+3yD/a
yD=(R^2+3xP)/(yP+3xP/a)
所以BD=yD√9+a^2/a
同理
yE=(R^2-3xP)/(yP-3xP/a)
CE=yE√9+a^2/a
∴BD·CE=yDyE√9+a^2/a√9+a^2/a=R^4=81a^4/(9+a^2)^2=常数
亦即BD·CE的值是常量