Question

级数知识点小结2-幂级数

Answer 1

（虽然应该让 函数项级数 与 常数项级数 同一级别，但由于函数项级数主要提及的是 幂级数 和 傅里叶级数 ，便直接将其提上来重点说明。只需要心里明白：幂级数与傅里叶级数属于函数项级数，而与函数项级数相对应的概念是常数项级数。）

PS ：此外还有收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数，余项等概念请自行查阅。

概念 ：各项都是常数乘幂函数的函数项级数，其形式为

其中常数 叫做幂级数的系数。

阿贝尔（Abel）定理 ：如果级数 当 时收敛，那么适合不等式 的一切 使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数 当 时发散，那么适合不等式 的一切 使这幂级数发散。

推论 ：如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数 存在，使当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；当 时，幂级数可能收敛也可能发散。

幂级数收敛半径的求法 ：如果 ，其中 是幂级数 的相邻两项的系数，那么这幂级数的收敛半径

幂级数的和函数的重要性质 ：

函数展开成幂级数 :如果一个幂级数在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数 ，那么我们就说函数 在该区间内能展开成幂级数。

函数展开成泰勒级数的充要条件 ：设函数 在点 的某一领域 内具有 各阶导数 ，则f(x)在该领域内能展开成 泰勒级数 的充分必要条件是在该领域内 的泰勒公式中的余项 时的极限为零，即

把函数展开成幂级数（麦克劳林展开式）的一般步骤 ：

近似计算主要包括计算某无理数（如 ）、定积分（如 ）的近似值。要注意的主要是 舍入误差 、 截断误差 的取值。