Question

函数f(x)=x^2+ax-a+3若x∈[-2,2]时f(x)≥0恒成立，求a范围

Answer 1

f(x)=x^2+ax-a+3=(x+a/扰历2)²-a²/缓模搜4-a+3
即f(x)为开口相上，对称轴为x=-a/2的抛物线
当-a/2≤-2时，即[-2,2]在抛物线对称轴右侧，单增，f(-2)为最小值，f(-2)=4-2a-a+3=7-3a，当7-3a≥0时，f(x)≥0在[-2,2]上恒成立，无解
当-a/2≥2时，即[-2,2]在抛物线对称轴左侧，单减，f(2)为最小值，f(2)=4+2a-a+3=a+7，当a+7≥0时，f(x)≥0在[-2,2]上恒成立，求得解集为-7≤a≤-4
当-2<-a/2<2时，抛物线顶点处取得最小值，f(a/2)=-a²/4-a+3=-(a/2+1)²+4，当-(a/2+1)²+4≥0时，f(x)≥0在[-2,2]上恒成立，求得解集为-4<a≤2

综上a的取值码颂范围是-7≤a≤2

也可以求导做~个人觉得数形结合简单点~

Answer 2

解：f（x）的最高项系数不为0，因此f（x）是二次函数
①若方程f（x）=0的判别式Δ≤0，则x∈R，f（x）≥0恒成立
此时，a²﹣4（3﹣a）≤0，即a²+4a﹣12≤0，即（a+6）（a﹣2）≤0
∴a∈【﹣6，2】
②若方程f（x）=0的判别式Δ＞0，则f（x）=0有两根x1，x2
且x1=½（﹣a﹣√Δ），x2=½（﹣a+√Δ），于是x∈（x1，x2）时，f（x）＜0
因此（x1，x2）与【﹣2，2】没有交集。
此时x1≥2，或x2≤﹣2
将Δ=a²+4a﹣12代入，经过移项、平方、移旅腊渣项、合并同类项等一系列冗长的计算，拆悄可得
a∈【﹣7，﹣6）∪（2，7/3】
综上，a的取值范围为【﹣局山7，7/3】

如果需要更详细的过程，我可以帮你写一下。

追问

也感谢你