Question

如图，抛物线经过A（4，0),B(1,0),C(0,2)三点。

(1)求出抛物线的解析式，
(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A，P，M为顶点的三角形于△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标。

Answer 1

(1)抛物线经过A(4, 0)和B(1, 0), 则可以表达为 y = a(x - 4)(x - 1)
代入C的坐标：2 = 4a, a = 1/2
抛物线的解析式: y = (x-4)(x-1)/2 = x²/2 - 5x/2 + 2

(2) |OA| = 4， |OC|=2， |OA|：|OC| = 2:1
设P(p, (p-4)(p-1)/2), M(p, 0)
要使以A,M,P为顶点的三角形与△OAC相似，因为AM⊥MP，只需|AM| ：|MP|= 2，或|MP| ：|AM|=2:1即可。
|AM| = |p-4|
|MP| = |(p-4)(p-1)/2|
(a) |AM| ：|MP|= 2:1
|p-4|/ |(p-4)(p-1)/2| = 2
|p - 1| = 1
p = 0或p = 2
P(0, 2)或(2, -1)
(b) |MP| ：|AM|=2:1
|(p-4)(p-1)/2| /|p-4| = 2
|p-1| = 4
p = 5或p = -3
P(5, 2)或(-3, 14)

(3) △DCA的底AC固定，要使面积最大，只要AC上的高最大即可。显然，过D的抛物线的切线与AC平行即可。
AC的斜率为k = (2-0)/(0-4) = -1/2
斜率为-1/2的直线为y = -x/2 + b
与y = (x-4)(x-1)/2 = x²/2 - 5x/2 + 2联立，得：x² - 4x + 4-2b = 0
判别式△=8b = 0
b = 0, x = 2
D(2, -1)

Answer 2

解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得
16a+4b-2=0a+b-2=0.
，
解得
a=-12b=52.
，
∴此抛物线的解析式为y=-1 2 x2+5 2
x-2；
（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，
则P点的纵坐标为-
1
2
m2+
5
2
m-2，
当1＜m＜4时，AM=4-m，PM=-
1
2
m2+
5
2
m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当
AM
PM
=
AO
OC
，
∵C在抛物线上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴
AM
PM
=
AO
OC
=
2
1
，
∴△APM∽△ACO，
即4-m=2(-
1
2
m2+
5
2
m-2)．
解得m1=2，m2=4（舍去），
∴P（2，1）．
②当
AM
PM
=
OC
OA
=
1
2
时，△APM∽△CAO，即2(4-m)=-
1
2
m2+
5
2
m-2．
解得m1=4，m2=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P（2，1）．
当m＞4时，
①
PM
AM
=
OC
OA
=
1
2
或
PM
AM
=
OA
OC
=2，
把P（m，-
1
2
m2+
5
2
m-2）代入得：2（-
1
2
m2+
5
2
m-2）=m-4，2（m-4）=-
1
2
m2+
5
2
m-2，
解得：第一个方程的解是m=0，m=4（舍去），第二个方程的解是m=2，m=4（舍去）
求出m=5，-
1
2
m2+
5
2
m-2=-2，
P（5，-2）．
当m＜1时，①
PM
AM
=
OC
OA
=
1
2
或
PM
AM
=
OA
OC
=2，
把P（m，-
1
2
m2+
5
2
m-2）代入得：2（-
1
2
m2+
5
2
m-2）=4-m，2（4-m）=-
1
2
m2+
5
2
m-2，
解得：第一个方程的解是m=2，m=4（都舍去），第二个方程的解是m=4，m=5（都舍去）
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，-2）．
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-
1
2
t2+
5
2
t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=
1
2
x-2．
∴E点的坐标为(t，
1
2
t-2)．
∴DE=-
1
2
t2+
5
2
t-2-(
1
2
t-2)=-
1
2
t2+2t，
∴S△DAC=S△DCE+S△DEA=
1
2
DE•h+
1
2
DE•（4-h）=
1
2
DE•4，
∴S△DAC=
1
2
×(-
1
2
t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4，
∴当t=2时，△DAC面积最大，
∴D（2，1）．

Answer 3

这题我没做答案，我给你说下思路吧。
（2）求相似无非是那几种方法，这题明显是用角角相似，因为两个三角形都有一个已知条件，起码都是直角三角形。然后确定P点的位置，因为A为三角形的顶点且垂足为M，所以A与M不重合M点可能在OA上则点P在X轴上方，还有种可能就是M在A点右侧则点P在X轴下方。然后用角等则弦等。可以确定点P的坐标，2个P点坐标求出之后带入第一问所求的方程看是否成立，若成立则存在，反之不存在。
（3）这问求最大面积，明显是动点。三角形DCA，相同的底AC，高在变化，根据面积公式只要求出动点到直线AC距离最长的点所围成的面积为最大。设点D坐标（X，-1/2x^2+5/2x-2）利用点线距离公式D=｜AXo+BYo+C｜/√A^2+B^2,带入D点化简计算点到线的最大值的X值为多少（最后化简是一元二次方程开口向下，算顶点的X值），带入抛物线方程计算该点的坐标即可。