Question

证明极限单调有界，并求极限的证明题，如图，解题步骤是？（如何求有界值）

Answer 1

解法一：x(n+1)=2/(1+1/xn)
1/x(n+1)=1/2+1/2xn
1/x(n+1)-1=(1/2)*(1/xn-1)
1/x1-1=1/(1/2)-1=1
所以{1/xn-1}是以1为首项，1/2为公比的等比数列
1/xn-1=(1/2)^(n-1)
所以lim(n->∞) (1/xn-1)=0
lim(n->∞)xn存在，且极限为1
解法二：x(n+1)=2/(1+1/xn)=2xn/(xn+1)=2-2/(xn+1)<2
令f(x)=2-2/(x+1)，则f'(x)=2/(x+1)^2>0
且x2=2-2/(x1+1)=2/3>x1
所以{xn}单调递增，且0<xn<2
所以lim(n->∞)xn存在，不妨令极限为A
A=2A/(A+1)
A=1，或A=0（舍去）
所以极限为1