Question

1/1+x的泰勒展开式是什么?

Answer 1

1/1+x的泰勒展开式是：

1/（bai1+x)=1/=1-x+x^2-x^(-3)+...=sum{(-1)^k*x^k，k=0..infinity}。

泰勒公式：

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于（x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f(x)在包含x0的某个闭区间［a，b]上具有n阶导数，且在开区间（a，b)上具有（n+1)阶导数，则对闭区间［a，b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f(x)的n阶导数，等号后的多项式称为函数f(x)在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余项，是（x-x0)n的高阶无穷小。

数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

Answer 2

函数 f(x) = 1/(1+x) 的泰勒展开式表示为：
f(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - ...
这是一个无限级数，它以 x 为变量展开，并且从 x^0 = 1 开始。每一项的系数交替为正负号，指数逐渐增加。由于这是一个几何级数，它只在特定范围内收敛。
当 x 的绝对值小于 1 时，该级数收敛，并且可以通过有限项来逼近 f(x) 的值。如果 x 的绝对值大于等于 1，那么级数将发散。
需要注意的是，泰勒展开式是以给定点附近的局部近似，因此其适用范围有限。在该例中，泰勒展开式适用于 x 的绝对值较小的情况。当 x 接近于 0 时，级数中的较高次幂项的贡献会逐渐减弱，但随着 x 的增大，级数的逼近效果会变差。

Answer 3

泰勒展开式是将一个函数表示为无限级数的形式，可以在某个点附近进行展开。对于函数f(x)，其在点x=a处的泰勒展开式可以表示为：
f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + (x-a)^2/2! f''(a) + (x-a)^3/3! f'''(a) + ...
对于函数f(x) = 1/(1+x)，我们可以利用泰勒展开式，在点x=0处展开。首先求取f(x)在x=0处的导数以及各阶导数，然后代入到泰勒展开式中，得到展开式的形式。
f(0) = 1/(1+0) = 1
f'(x) = -1/(1+x)^2，f'(0) = -1
f''(x) = 2/(1+x)^3，f''(0) = 2
f'''(x) = -6/(1+x)^4，f'''(0) = -6
将这些导数值代入泰勒展开式：
f(x) = f(0) + (x-0)f'(0) + (x-0)^2/2! f''(0) + (x-0)^3/3! f'''(0) + ...
= 1 + (-1)x + (1/2)x^2 + (-1/6)x^3 + ...
因此，f(x) = 1/(1+x)在x=0处的泰勒展开式为：
1 + (-1)x + (1/2)x^2 + (-1/6)x^3 + ...
这个展开式是无限级数，可以在x值接近0的范围内，通过有限的项数来逼近原函数的值