Question

已知f(x)=xlnx(1)求g(x)=(f(x)+k)/x的单调区间。(2)证明当x>=1时，2x-e<=f(X)<=(x^2-1)/2恒成立

Answer 1

1) g(x)=lnx+k/x (x>0)
g`(x)=1/x-k/x^2=1/x(1-k/x)=(x-k)/x^2
当k<0 时，g`(x)>0恒成立,即 g(x)在定义域内递增
当k>0时,g'(x)>0,则有x>k,因此g(x)的递增区间是(K,+无穷)
当g'(x)<0时,则有0<x<k,g(x)的递减区间是(0,K)
2) 设F(x)=f(x)-2x+e=xlnx-2x+e
F'(x)=x*1/x+lnx-2=lnx-1 同上可知，F(x)在x>0时的最小值在x=e处取得，最小值F(e)=f(e)-2e+e=0
所以F(x)=f(x)-2x+e>=0恒成立，即2x-e<=f(X) …… （1）
设G(x)=f(x)-(x^2-1)/2=xlnx-(x^2-1)/2
G'(x)=lnx+1-x <=0恒成立（可以同样方法求导得出G`(x)的最大值为0。）
G(x)=f(x)-(x^2-1)/2单调递减，在x=1处取得最大值G(1)=f(1)-(1^2-1)/2=0
因此G(x)=f(x)-(x^2-1)/2<=0…… （2）
综上（1）（2），原不等式得证。

Answer 2

1) g(x)=lnx+k/x (x>0)
g`(x)=1/x-k/x^2=1/x(1-k/x)=(x-k)/x^2
当k<0 g`(x)>0恒成立,即 g(x)恒递增
当k>0时,g'(x)>0,则有x>k,g(x)的递增区间是(K,+无穷)
当g'(x)<0时,则有0<x<k,g(x)的递减区间是(0,K)
2) 设F(x)=f(x)-2x+e=xlnx-2x+e
F'(x)=x*1/x+lnx-2=lnx-1