Question

ΔABC中,acosC,-bcosB,ccosA成等差数列,求B的大小

Answer 1

因为acosC、-bcosB、ccosA成等差数列，
所以，acosC+ccosA=-2bcosB
根据正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，代入上式并消去2R得：
sinAcosC+sinCcosA=-2sinBcosB
即：sin(A+C)=-2sinBcosB
因为A+C+B=180，所以A+C=180-B，因此由诱导公式上式又可以化为：
sinB=-2sinBcosB
因为sinB不等于0，所以两边约去sinB，得：
1=-2cosB
即：cosB=-1/2
因为角B是ΔABC的内角，所以0<B<180度，因此，角B=120度。

Answer 2

解：由已知条件得，
2bCosB=-aCosC-cCosA (1)
而 a=2rSinA, b=2rSinB, c=2rSinC, 代入上式，易得
2SinB*CosB=-(SinA*CosC-CosA*SinC), 或
Sin(2B)=-Sin(A+C), 或 Sin(2B)+Sin(A+C)=0, 因式分解得
Cos(1/2(A+C-2B))*Sin(1/2*(A+2B+C))=0，或
Cos(1/2(A+B+C-3B))*Sin(1/2*(A+B+C+B))=0，即
Cos(1/2*Pi-3/2B)*Sin(1/2*Pi+1/2B)=0 (A+B+C=Pi)
Sin(3/2*B)*Cos(1/2*B)=0
因0<B<Pi，Cos(1/2*B)<>0
所以有3/2*B=k*Pi （k取整数）
B=2k/3*Pi，由B的取值范围知 k=1，则
B=2/3*Pi=120度