Question

P为三角形ABC内一点,AB向量=3PB向量+4PC向量,求APB和BPC的面积比

Answer 1

AB向量=3PB向量+4PC向量,
PB-PA=3PB+4PC,
PA+2 PB+4PC=0,
以P为原点,作单位向量PA',PB',PC',让它们两两夹角为120°,
显然有向量PA’+向量PB’+向量PC’=0.
在PA'上取A点,使PA'=PA,所以|PA|=1.
在PB'上取B点,使PB'=2PB,所以|PB|=1/2.
在PC'上取C点,使PC'=4PC,所以|PC|=1/4.
所以向量PA+2向量PB+4向量PC=0
因为三角形面积=1/2*a*b*sinC
所以三角形APB和BPC的面积比
=(1*1/2):(1/2*1/4)=4:1.