Question

已知正四棱椎ABCD-A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连接A1B，过A作AF垂直A1B垂足为F,且AF的延长线交B1B

1.求证:D1B垂直平面AEC ， 2.求二面角B-AE-C的平面角的正切值，

Answer 1

1
∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱
∴D1D⊥底面ABCD
∵AC在底面ABCD内
∴AC⊥D1D
∵ABCD是正方形
∴·AC⊥BD
∴AC⊥平面DBB1D1
∴BD1⊥AC (*)
又D1A1⊥面ABB1A1
∴AE⊥D1A1
∵AE⊥A1B
∴AE⊥面A1BD1
∴BD1⊥AE (#)
∵AE∩EC=E及 (*)(#)
∴BD1⊥平面AEC
2
连接CF,
∵CB⊥面ABB1A1
∴BF是CD在面ABB1A1内的射影
∵BD⊥AE
∴CD⊥AE
∴∠CDB是二面角B-AE-C的平面角
∵AA1=4,AB=3,A1B=6
∴BD=A1B/AB²=5/9
∴tan∠CDB=BC/BD=3/(5/9)=27/5
即二面角B-AE-C的平面角的正切值为27/5