Question

若a,b,c是△ABC的三条边，且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca，则△ABC是怎样的三角形？

Answer 1

a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边乘2
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立。所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c
所以是等边三角形

Answer 2

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2ac+c^2+b^2-2bc=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
三个非负数合为0 则他们分别为0
所以 a=b b=c c=a
等边三角形。

Answer 3

两边乘以二得2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
配方得(a-b)^2+(a-c)^2+(c-b)^2=0,所以a=b=c,为等边三角形