Question

如图，直角梯形abcd中，ad//bc,角abc=90度，已知ad=ab=3

如图，直角梯形abcd中，ad//bc,角abc=90度，已知ad=ab=3,bc=4,动点p从b点出发，沿线段bc向点C做匀速运动：动点Q从点D出发，沿线段da向点a 做匀速运动。过点Q垂直于ad的射线交ac于点M，交bc于点N，p,Q 两点同时停止运动。设点Q运动的时间为t秒。                                             (1）求nc,mc的长(用t的代数式表示）；  (2）当t为何值时，四边形pcdq构成平行四边形（3）是否存在某一时刻 ，使射线qn恰好将三角形abc的面积和周长同时平分?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；          （4)探究：t为何值时，三角形pmc为等腰三角形?(若是一元二次方程，只需列出方程）                                                   

Answer 1

（1）过D做DF⊥BC
易得四边形QDFN为矩形，以是NF=QD
∴NC=NF+CF
而CF=BC-BF=BC-AD=1
NF=DQ=t
∴NC=t+1
△ABC中，cos∠ACB=BC/AC
△MNC中，cos∠MCN=NC/CM
∴BC/AC=NC/CM
∴CM=AC×NC/BC=5(1+t)/4
（2）易得QD//PC
要满意PCDQ为平行四边形
只需QD=PC
∴t=4-t，解得t=2
（3）假设QN中分三角形ABC的面积
即S△MNC=S△ABC/2
而S△MNC=NC×MN/2=3NC²/8
S△ABC=AB×AC/2=3BC²/8
∴3NC²/8=(3BC²/8)/2
∴NC=(√2/2)BC（二分之根号2的BC）
假设QN中分△ABC的周长
即C△MNC=C△ABC/2
而C△MNC=MN++NC+CM
C△ABC=AB+AC+BC
易得MN为△ABC的中位线时，条件满意
此时CN=BC/2
与CN=(√2/2)BC抵牾
以是，不存在
（4）
i）MP=MC
而MN⊥PC
易得PN=NC,即PC=2NC
以是4-t=2(t+1)
得t=2/3
ii）MP=PC
过P做PG⊥MC 于G点
易得PG=MC/2
而PG=CPsin∠ACB=3CP/5
MC=NC/sin∠ACB=5NC/3
∴3CP/5=5NC/6
而CP=BC-CP=4-t
NC=CF+FN=CF+DQ=1+t
∴3(4-t)/5=5(1+t)/10
解得t=19/11
iii）MC=CP
而CM=5(1+t)/4
CP=BC-BP=4-t
∴5(1+t)/4=4-t
解得t=11/9
而BP<BC可得t<4
上面三种环境都满意t<4
∴t=2/3，19/11，11/9时△PMC为等腰三角形

Answer 2

图