设向量组a1,a2.........am的秩为r,则a1,a2,......am中任意r个线性无关的向量都构成它的极大线性无关组
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反证：若a1,a2,......am中任意r个线性无关的向量构成的不是它的极大线性无关组
不妨记b1,b2,...br是取出的r个线性无关的向量
由于它不是原向量组的极大线性无关组
那么可以在剩下的向量中取至少1个（不妨记为br+1)加进b1,b2,...br中
那么b1,b2,...br,br+1是线性无关组
那么向量组a1,a2.........am的秩一定大于等于r+1
与题设矛盾
不妨记b1,b2,...br是取出的r个线性无关的向量
由于它不是原向量组的极大线性无关组
那么可以在剩下的向量中取至少1个（不妨记为br+1)加进b1,b2,...br中
那么b1,b2,...br,br+1是线性无关组
那么向量组a1,a2.........am的秩一定大于等于r+1
与题设矛盾
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