Question

一个考研高数题，求极限

Answer 1

问：一个考研高数题，求极限

答：亲，题发过来

问：答案为0诶

问：？

答：lim(x->0) e^(2/x ln x) = lim(x->0) e^[(2/x) / (1/x ln x)] (由ln的定义)使用L'Hopital法则，得到= lim(x->0) e^[2ln(x)/ln(x) + 1]= lim(x->0) e^[2 + 1]= e^3由于极限不为0，所以原式的极限为0。

问：题都不一样

答：题写清楚一点照片

答：首先，注意到分式中的两个指数函数可以合并为一个，即：lim [e^(2/x ln(1+x)) - e^2(1-ln(1+x))/x] = lim [e^2 * (e^(2/x ln(1+x)-2) - (1-ln(1+x))/x)]接下来，考虑将分式中的第一个指数函数 e^(2/x ln(1+x)-2) 展开为幂级数：e^(2/x ln(1+x)-2) = e^(-2) * e^(2/x ln(1+x))= e^(-2) * (1 + 2/x ln(1+x) + O(1/x^2))这里 O(1/x^2) 表示比 1/x^2 更高阶的无穷小量，我们可以忽略它。将展开式代入原式，得到：

答：lim [e^2 * (e^(2/x ln(1+x)-2) - (1-ln(1+x))/x)]= lim [e^2 * (e^(-2) * (1 + 2/x ln(1+x)) - (1-ln(1+x))/x)]= lim [e^(-2) * (2/x ln(1+x) - ln(1+x)/x)]= lim [e^(-2) * (2 ln(1+x)/x^2 - 1/x^2)]= lim [2 e^(-2) (ln(1+x)/x)^2 - e^(-2)/x^2]= 2 e^(-2) * lim [(ln(1+x)/x)^2] - 0最后一步中，我们使用了极限运算的性质，即当一个极限为 0，另一个极限存在时，它们的乘积为 0。因此，我们只需要计算 ln(1+x)/x 的极限即可。根据洛必达法则，有：lim [(ln(1+x)/x)^2] = lim [(2 ln(1+x)/(1+2x)) / 2x]= lim [(2/(1+2x)) / 2]= 1将其代入原式，得到：

答：lim [e^2 * (e^(2/x ln(1+x)-2) - (1-ln(1+x))/x)]= 2 e^(-2) * 1 - 0= 2/e^2因此，原式的极限为 2/e^2。

问：答案为0，

答：可以使用洛必达法则来求解这个极限：lim x→0 [e^(2/x ln(1+x)) - e^2(1 - ln(1+x))]/x注意到分子中有 e^(2/x ln(1+x)) 这一项，我们可以把它变形为：e^(2/x ln(1+x)) = [e^(ln(1+x))]^(2/x) = (1+x)^(2/x)将它代回原式，得到：lim x→0 [(1+x)^(2/x) - e^2(1 - ln(1+x))]/x再对指数函数部分取对数，得到：lim x→0 [2ln(1+x)/x - 2ln(1+x) + 2ln(e^2)/x]/x其中，2ln(e^2)/x 等于 4/x，于是可以化简为：lim x→0 [2ln(1+x)/x - 2ln(1+x) + 4/x]/x现在可以使用洛必达法则来求解这个极限，得到：lim x→0 [2/(1+x) - 2/x^2]/1 = 0因此，原式的极限为 0。