Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F

已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F
（1）求证：GE=GF；
（2）若BD=1，求DF的长。
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Answer 1

数学天才团为您解答：
不难证明△BEC∽△BCA
∵∠A=30°
∴∠BCE=30° BC=2BE
∵DF∥BC
∴ DF⊥AC ∠FDC=30°
根据“角边角”
△BEC≌△GED
∴ GE=BE
∴ BC=BG
在Rt△ABC中
∵∠A=30°
∴BC=AB/2
∴BG=AB/2
∴点G是AB的中点，那么点F是AC的中点
∴FG是中位线
∴FG=BC/*2
∴FG=GE
2）∵BE共边，CE=DE
∴Rt△BEC≌Rt△BED
∴BC=BD=1
∴DG=1
∴FG=BC/2=1/2
∴DF=DG+FG=1+1/2=3/2

追问

能不用相似吗？还有（2）中为什么CE=DE？

追答

不用相似∠BCE=30° BC=2BE也成立（因为∠ACB=∠BEC=RT∠ ∠ABC是公共角）
2）CE=DE （因为在第一问中 已经证明“根据“角边角”△BEC≌△GED”）

Answer 2

考点：勾股定理；直角三角形全等的判定．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）根据已知条件易证明Rt△AEC≌Rt△DFC，得CE=CF，则DE=AF，从而进一步证明Rt△AFG≌Rt△DEG，就可得到GE=GF；
（2）根据直角三角形的性质可以得到CE=½AC，CE=½CD，即AB是CE的垂直平分线，则BC=BD=1．再根据直角三角形的性质进一步求得AB、BE的长，则AE=AB-BE，结合（1）中的全等三角形，知DF=AE．
解答：（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△DFC．
∴CE=CF．
∴DE=AF．
而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，
∴Rt△AFG≌Rt△DEG．
∴GF=GE．

（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴CE=½AC=½CD
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE=½BC=½BD=½
在直角三角形ABC中，∠A=30°，
则AB=2BC=2．
则AE=AB-BE=3/2
∵Rt△AEC≌Rt△DFC，
∴DF=AE=3/2
点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及线段垂直平分线的性质；用到的知识点为：直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半．

Answer 3

因为df//bc。又角c是直角。所以df垂直ac。又cd=ac。所以三角形ace全等于三角形dcf。因为角a=三十度。cd垂直ab。所以角dcb=角cdf=三十度。所以cf=ce=二分之一ac。所以三角形cfg全等于三角形ceg。所以gf=ge

Answer 4

....

Answer 5

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