Question

平行四边形ABCD,角ADC,角DAB的平分线DE,AE分别于线段BC相较于点F,E,DF与AE相交于G，求AE⊥DF。

若AD=10，AB=6，AE=4，求DF长

Answer 1

你可能是忙中出错了！原题是这样的吧：
平行四边形ABCD，角ADC、角DAB的平分线DF、AE分别于线段BC相较于点F、E，DF与AE相交于G，求证：AE⊥DF。若AD=10，AB=6，AE=4，求DF长。

第一个问题：
∵ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠BAD＋∠CDA＝180°，
而∠DAG＝∠BAD/2、∠ADG＝∠CDA/2，∴∠DAG＋∠ADG＝（∠BAD＋∠CDA）/2＝90°，
∴AE⊥DF。

第二个问题：
∵ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝6、AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA、∠ADF＝∠CFD。
由∠DAE＝∠BAE、∠DAE＝∠BEA，得：∠BAE＝∠BEA，∴BE＝AB＝6。
由∠ADF＝∠CDF、∠ADF＝∠CFD，得：∠CDF＝∠CFD，∴CF＝DC＝6。

∵ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝10，∴BF＋EF＋CE＝10，∴BF＋CF＝10，
∴BF＋6＝10，∴BF＝4，而BE＝BF＋EF＝6，∴4＋EF＝6，∴EF＝2。

∵AD∥EF，∴△GEF∽△GAD，∴GE/GA＝EF/AD＝2/10＝1/5，
∴GE/（GE＋GA）＝1/（1＋5），∴GE＝（1/6）AE＝（1/6）×4＝2/3，
∴GA＝AE－GE＝4－2/3＝10/3。

∵△GEF∽△GAD，∴GF/GD＝GE/GA＝1/5，∴GF＝（1/5）GD。
∵GA⊥GD，∴由勾股定理，有：GD＝√（AD^2－GA^2）＝√（100－100/9）＝20√2/3，
∴GF＝（1/5）GD＝（1/5）×20√2/3＝4√2/3，∴DF＝GF＋GD＝4√2/3＋20√2/3＝8√2。

注：若原题不是我所猜测的那样，则请你补充说明。