Question

已知如图,Rt△ABC的两直角边OA,OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上,C为OA上一点

已知如图，Rt△ABC的两直角边 OA，OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点，且OC=OB，抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（其中m、p为常数，且m+2≥2p＞0）经过A，C两点．
（1）证明：（p，0）在抛物线上；
（2）用m，p分别表示OA，OC的长；
（3）当m，p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

Answer 1

(1) x = p时, y = (p - 2)(p - m) - (p - 2)(p - m) = 0, 所以(p, 0)在抛物线上.

(2) 设A(a, 0), C(c, 0)
x = a时, y = (a - 2)(a - m) - (p - 2)(p - m) = 0 (1)
x = c时, y = (c - 2)(c - m) - (p - 2)(p - m) = 0 (2)
(1)-(2): (a - 2)(a - m) - (c - 2)(c - m) = 0
a² - (m+2)a + 2m = c² - (m+2)c + 2m
a² - c² = (m+2)a - (m+2)c
(a + c)(a - c) = (m + 2)(a - c)
根据题意，a, c不相等, a + c = m + 2
因为抛物线与x轴只能有两个交点, (p, 0)必为A或C.
(a) (p, 0)为A
a = p
c = m + 2 - a = m + 2 - p
根据题意, a > c, m + 2 ≥ 2p
a -c = p - (m + 2 - p) = 2p - (m + 2) < 0
与a > c矛盾, 舍去

(b) (p, 0)为C
c = p
a = m + 2 - c = m + 2 - p
根据题意, a > c, m + 2 ≥ 2p
a - c = (m + 2 - p) - p = (m + 2) - 2p > 0
符合题意
|OC| = c = p
|OA| = a = m + 2 - p

(3)|OB| = |OC| = p
△AOB的面积S = (1/2)|OB|*|OA| = p(m+2-p)/2
= -[p - (m+2)/2]² + (m+2)²/8
p = (m+2)/2时, S最大

追问

非常感谢你的帮助！请问你有没有一些优录的初中试题呢？语数外理化（有几科给几科）最好都有、有吗？如果有的话请发到我的邮箱625284078@qq.com、我会提高悬赏的！谢谢！

追答

抱歉，我没有这类材料。

Answer 2

解：（1）把x=p代入抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）中，
得到y=（p-2）（p-m）-（p-2）（p-m）=0，
则（p，0）在抛物线上；

（2）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
∴x2-mx-2x-p2+mp+2p=0，
∴（x+p）（x-p）+m（p-x）+2（p-x）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x1=p，x2=m+2-p，
∵m+2＞2＞0，
∴m+2-p＞p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=p；

（3）∵OC=OB，S△AOB=12OA•OB，
∴S△AOB=12OA•OB=12p•（m+2-p），
=-12p2+12（m+2）•P，
∴当p=-12(m+2)2×(-12)=12（m+2），
即2p=m+2时，S△AOB最大．