Question

已知三角形ABC面积为根号三,D为BC上的中点且AD等于1,又已知角ADC为60,求TA

Answer 1

问：已知三角形ABC面积为根号三,D为BC上的中点且AD等于1,又已知角ADC为60,求TA

答：亲，你好，首先，我们可以利用三角形面积公式求出 $BC$ 的长度： $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle BAC = \frac{\sqrt{3}}{2} AB \cdot BC = \sqrt{3}$$ 因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BD = DC = \frac{BC}{2}$。又因为 $\angle ADC = 60^\circ$，所以 $\triangle ACD$ 是一个边长为 $1$ 的等边三角形。因此，我们可以利用余弦定理求出 $AC$ 的长度： $$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \angle ADC = 1 + \frac{BC^2}{4} - BC$$ 将 $BC$ 的长度代入上式，得到： $$AC^2 = 1 + \frac{4}{AB^2} - 2 \cdot \sqrt{3}$$ 最后，我们可以利用三角形面积公式求出 $TA$ 的长度： $$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD \cdot \sin \angle ADB = \frac{1}{4} AB \cdot \sin \angle ADB$$ 因为 $\triangle ACD$ 是等边三角形，所以 $\angle ADB = 60^\circ - \angle ADC = 0^\circ$，即 $\triangle ABD$ 是一条直线。因此，$TA = TB + BD = AB - AD + \frac{BC}{2}$。将 $AB$ 和 $BC$ 的长度代入上式，得到： $$TA = \frac{AB}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$ 将 $AB$ 的长度代入上式，得到： $$TA = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} - 1 = \frac{3\sqrt{3}}{4} - 1$$ 因此，$TA = \frac{3\sqrt{3}}{4} - 1$。