Question

已知等差数列an的前n项和为Sn,且对于任意的正整数n满足2根号下Sn=(an)+1

1)求数列{an}的通项公式(2)设bn=1/an·an+1，求数列{bn}的前项和Bn.

Answer 1

数列{an}应该是正数数列吧！
【解】
因为2√Sn=an+1
所以4Sn=(an+1)²
那么4S(n-1)=[a(n-1)+1]²
相减得4an=an²+2an-[a(n-1)]²-2a(n-1)
即2[an+a(n-1)]=an²-[a(n-1)]²=[an+a(n-1)][an-a(n-1)]
移项得：[an+a(n-1)] [an-a(n-1)-2]=0，
因为数列{an}应该是正数数列，
所以an+a(n-1)>0,
所以an-a(n-1)=2,
那么{an}是以1为首项，2为公差的等差数列
a1=2√S1-1=2√a1-1，得a1=1
∴an=1+2(n-1)=2n-1

bn=1/(ana(n+1))=1/((2n-1)(2n+1))
=((1/(2n-1))-(1/(2n+1)))/2；
则Bn=b1+b2+b3+……+bn
=1/2[(1)-(1/3)+(1/3)-(1/5)+(1/5)-(1/7)+•••
+(1/(2n-3))-(1/(2n-1))+(1/(2n-1))-(1/(2n+1))]
=1/2[1-(1/(2n+1))]
=n/(2n+1)
即Bn=n/(2n+1) .

Answer 2

1.
2√Sn=an+1
4Sn=(an)^2+2an+1
4S1=(a1)^2+2a1+1=4a1,
a1=1
4S(n-1)=[a(n-1)]^2+2a(n-1)+1
4an=4[sn-s(n-1)]=(an)^2+2an-[a(n-1)]^2-2a(n-1)
(an)^2-2an-[a(n-1)]^2-2a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-2[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-2]=0
an+a(n-1)=0或an-a(n-1)-2=0
an=a1(-1)^(n-1)=(-1)^(n-1)
或an=a1+2(n-1)=2n-1
经检验都符合题意
所以
an=(-1)^(n-1)或an=2n-1.
2.
bn=1/[ana(n+1)]
2-1,当an=(-1)^(n-1)时,
bn=1/[ana(n+1)]
=1/{[(-1)^(n-1)][(-1)^n]}
=1/[(-1)^(2n-1)]
=-1
Bn=-1*n=-n;
2-2,当an=2n-1时,
bn=1/[ana(n+1)]
=1/[(2n-1)(2n+1)]
=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
2bn=1/(2n-1)-1/(2n+1)
2b(n-1)=1/(2n-3)-1/(2n-1)
2b(n-2)=1/(2n-5)-1/(2n-3)
2b(n-3)=1/(2n-7)-1/(2n-5)
……
2b3=1/5-1/7
2b2=1/3-1/5
2b1=1/1-1/3
两边相加：
2Bn=2[b1+b2+b3+……+b(n-3)+b(n-2)+b(n-1)+bn]
=1-1/(2n+1)
=2n/(2n+1)
Bn=n/(2n+1).
综上所述
an=(-1)^(n-1)时,Bn=-n
an=2n-1时,Bn=n/(2n+1).