Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长

不要近似，不要菱形（在线）

Answer 1

∵ABCD是矩形，∴BC⊥CD、CD＝AB＝6。
∴由勾股定理，有：BD＝√（BC^2＋CD^2）＝√（64＋26）＝10。

∵A′D是由AB沿EF折叠而得到的，∴∠BAE＝∠DA′E＝90°、AE＝A′E、AB＝A′D，
∴△ABE≌△A′DE，∴BE＝DE、∠AEB＝∠A′ED。
∵∠AEB＝∠A′ED，而A、E、D在同一直线上，∴A′、E、B在同一直线上。

∵CD＝AB、AB＝A′D，得：A′D＝CD，又BD＝BD、∠BA′D＝∠BCD＝90°，
∴Rt△A′BD≌Rt△CBD，∴A′B＝BC＝8。
∵B、D沿EF折叠后重合，∴B、D关于EF对称，∴BD⊥EF。

令BD与EF的交点为O。
∵BE＝DE、EO⊥BD，∴BO＝BD/2＝5。
∵∠EBO＝∠DBA′、∠BOE＝∠BA′D＝90°，∴△BEO∽△BDA′，∴EO/A′D＝BO/A′B，
∴EO＝A′D×BO/A′B＝CD×BO/A′B＝AB×BO/A′B＝6×5/8＝15/4。

∵Rt△A′BD≌Rt△CBD，∴∠EBO＝∠FBO，又BO⊥EF，∴EO＝EF/2，∴EF/2＝15/4，
∴EF＝（15/2）（cm）。

Answer 2

参考答案：
过E作EM⊥BC于点M，连接EB.
由折叠知道，EF垂直平分BD，∠BEF=∠DEF
∴EB=ED
∵四边形ABCD是矩形，AB=6cm，BC=8cm
设AE=x，则ED=EB=8－x
∴(8－x)²=6²+ x²
解方程得，x=7/4
∵ABME也是矩形
∴BM=AE=7/4，EM=AD=6
又∵AD∥BC
∴∠DEF=∠EFB
∴∠BEF=∠EFD
∴DF=ED=8－7/4=25/4
∴MF=DF－DM=25/4－7/4=9/2
在Rt△EMF中，由勾股定理得EF²=EM²+MF²=6²+（9/2）²=225/4
∴EF=15/2