Question

如图,已知在直角坐标系中,抛物线与X轴交于A(-1,0)B(3,0)两点，并且与Y轴交于点C（0，3）

1）求抛物线的函数关系式
2）设抛物线定点为D在他对称轴右侧抛物线上是否存在点P.......................求符合条件的P的坐标
3）若∠BCD=90°点M是抛物线上一点以BCDM为顶点的四边形是直角梯形试求点M坐标

Answer 1

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0）
根据题意，得
a-b+3=0
9a+3b+3=0
解得 a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
⑵存在
由y=-x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)
根据勾股定理
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y＝4－x
又P点(x,y)在抛物线上，∴ 4－x=-x2+2x+3，即 x2-3x=1=0
解得 x=（3加减根号5）/2，（3-根号5）/2小于1 ，应舍去
∴ x=（3+根号5）/2
∴ y=4-x=（5-根号5）/2，即点P坐标为 =（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2） 或（2，3）
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），
根据勾股定理,得CB＝3倍根号2 ,CD＝根号2 ,BD＝2倍根号5
∴CB2+CD2=BD2=20
∴∠BCD＝90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中
∵CF＝DF＝1
∴∠CDF＝45°
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）
∴DM‖BC
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD＝90°及题意可知
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）

Answer 2

解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3．
即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得
a-b-3=0①9a+3b-3=0②
①×3+②得3a-3b-9+9a+3b-3=0，即12a=12，
解得a=1，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

(2)抛物线的解析式为 y=(x-1)^2-4
D点坐标为（1，-4），对称轴为x＝1
设P点坐标为(x,y)
①若以CD为底边，则PD＝PC，
根据勾股定理
得x^2+(3-y)^2=(x-1)^2+(4-y)^2
即y＝4－x
又P点(x,y)在抛物线上，
∴ 4－x=-x^2+2x+3，
即 x^2-3x=1=0
解得 x=（3-√5）/2，x=(3-√5)/2<1 (舍去）
∴ y=4-x=（5-根号5）/2，
P坐标为 ((3+√5)/2，（5-√5)/2）
②若CD=PD, 则P与点C关于直线x＝1对称，
∴点P坐标为（2，3）
③若CD=PD
根据勾股定理得：
(x-0)^2+(y-3)^2=1+1=2
x^2+(y-3)^2=2
又y=-x^2+2x+3
∴x^2+(-x^2+2x)^2=2
x^2+x^4-4x^3+4x^2-2=0
x^4-4x^3+5x^2-2=0
(x-1)(x^3-3x^2+2x+2)=0
x-1=0,或x^3-3x^2+2x+2=0
x=1 ==> y=4 点D
x^3-3x^2+2x+2=0 只有1个实数根x=-0.52(近似）（舍去）
此时符合条件的点P不存在
∴符合条件的点P坐标为((3+√5)/2，(5-√5)/2) 或(2，3）

Answer 3

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0）
根据题意，得
a-b+3=0
9a+3b+3=0
解得 a=-1,b=2
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3
⑵存在
由y=-x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1
①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)
根据勾股定理
得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2
即y＝4－x
又P点(x,y)在抛物线上，∴ 4－x=-x2+2x+3，即 x2-3x=1=0
解得 x=（3加减根号5）/2，（3-根号5）/2小于1 ，应舍去
∴ x=（3+根号5）/2
∴ y=4-x=（5-根号5）/2，即点P坐标为 =（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2）
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（（3+根号5）/2，（5-根号5）/2） 或（2，3）
⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），
根据勾股定理,得CB＝3倍根号2 ,CD＝根号2 ,BD＝2倍根号5
∴CB2+CD2=BD2=20
∴∠BCD＝90°
设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中
∵CF＝DF＝1
∴∠CDF＝45°
由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）
∴DM‖BC
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD＝90°及题意可知
以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）