Question

定积分∫1-0 ln(1+x)/(1+x^2)dx

Answer 1

解：∫<0,1>[ln(1+x)/(1+x²)]dx=∫<0,π/4>[ln(1+tanz)/(1+tan²z)]*sec²zdz (令x=tanz)
=∫<0,π/4>ln(1+sinz/cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[(sinz+cosz)/cosz]dz
=∫<0,π/4>[ln(sinz+cosz)-ln(cosz)]dz
=∫<0,π/4>ln(sinz+cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln[√2sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=∫<0,π/4>ln(√2)dz+∫<0,π/4>ln[sin(z+π/4)]dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=(π/4)ln(√2)+∫<π/4,0>ln[sin(π/2-y)]d(-y)-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
(在第二个积分中，令z=π/4-y)
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosy)dy-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
=πln2/8+∫<0,π/4>ln(cosz)dz-∫<0,π/4>ln(cosz)dz
(在第一个积分中，令z=y)
=πln2/8

Answer 2

先做变量替换x=tant，t从0到pi/4，然后利用三角函数的变换消掉一部分积分就行。
=积分（从0到pi/4）ln【(sint+cost)/cost】dt
=积分（从0到pi/4）【ln根号(2)+lnsin(t+pi/4)--lncost】dt 对第二项做变量替换t+pi/4=y
=pi*ln2/8+积分（从pi/4到pi/2）lnsintdt---积分（从0到pi/4）lncostdt
对第二项做变量替换t=pi/2--x，会发现最后两项抵消掉了
=pi*ln2/8