Question

已知f(x)=a-x^2-4x(x>0),f(x)=f(x-2)(x>=0),且函数y=f(x)-2x恰有3个不同零点，则实数a的取值范围是什么

Answer 1

f(x)={a-x²-4x(x＜0）f(x-2)(x≥0）}
当x属于[0,2)时，x-2属于[-2,0)<0,此时f(x)=f(x-2)=a-(x-2)²-4(x-2)
当x属于[2,4)时，x-4属于[-2,0)<0,此时f(x)=f(x-2)=f(x-4)=a-(x-4)²-4(x-4)
依次类推，f(x)在x＜0时为二次函数a-x²-4x=-(x+2)²+a+4，
在x≥0上为周期为2的函数，重复部分为a-x²-4x=-(x+2)²+a+4在区间[-2,0)上的部分。
二次函数a-x²-4x=-(x+2)²+a+4顶点为（-2，a+4），
y=f(x)-2x恰有3个不同的零点，即f(x)与2x恰有3个不同的交点，需满足f(x)与2x在x＜0时有两个交点（1）且0<=a+4<4（2）,
由（1）y=f(x)-2x有两个根且两个根都小于0，得到-8<a<0
由（2）得到-4<=a<0

Answer 2

f(x)=2x等价于f(x)-a=2x-a,这里y1=f(x)-a中不含有参数a,其图像可以很快画出(可以参考楼上对于x>0，f(x)周期性的考察）。可通过平移直线y2=2x得到y2=2x-a，其中-a是直线y2=2x-a在y轴上的截距。容易发现，-a≤4，从而a≥-4.