Question

如图,在△ABC中∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的⊙O交△A

如图，在△ABC中∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的⊙O交△ABC的三边，交点分别是G，F，E点．GE，CD的交点为M，且ME=46，MD：CO=2：5．
（1）求证：∠GEF=∠A；
（2）求⊙O的直径CD的长；
（3）若cos∠B=0.6，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系，求直线AB的函数表达式．

Answer 1

(1)如图：联合DF．∵CD是直径，∴∠CFD是直角，DF∥AC，∠A＝∠GDF(同位角）∠GDF＝∠GEF(同弧所对的角)，故∠A＝∠GEF． (2)∠BAC是直角，易知EF是圆O直径，即圆心O在EF上且为EF中点．D为BA中点， DF∥AC，F为AC中点．△DAC中，DA＝DC，DE⊥CA，E为AC中点， ∴EF∥AB．易证△GMD∽△EMO，有GM：EM＝DM：MO ；① 易证△GMD∽△CME，有GM：CM＝DM：ME．② 整理①，②得：EM／MO ＝ CM／ME．又由MD:CO=2:5有MD＝CD／5，MO＝3CD／10，ME=4√6，CM＝4CD／5， ∴CD＝20

Answer 2

证明一：
（1）连接DF，∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴BD=DC=12AB，（2分）
∵DC是⊙O的直径，
∴DF⊥BC，（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点；（5分）

（2）∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，（6分）
∴∠A=∠BDF，（7分）
∵∠BDF=∠GEF，（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）

证明二：
（1）连接DF，DE，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°．（1分）
∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形．
∴EF=CD，DF=EC．（2分）
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴EF=CD=BD=12AB．（3分）
∴△DBF≌△EFC．（4分）
∴BF=FC，即F是BC的中点．（5分）

（2）∵△DBF≌△EFC，
∴∠BDF=∠FEC，∠B=∠EFC．（6分）
∵∠ACB=90°（也可证AB∥EF，得∠A=∠FEC），
∴∠A=∠FEC．（7分）
∵∠FEG=∠BDF（同弧所对的圆周角相等 ），（8分）
∴∠A=∠GEF．（9分）
（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考．）

Answer 3

图很不标准