Question

已知函数 ，若关于x的方程 有六个不同的实根，则a的取值范围是

Answer 1

由f(x)的表达式可知
x²+2x≤0
所以-1≤x²+2x≤0
因为有6个不同的实根.
所以不能取等号
所以-1<x²+2x<0
所以a的取值范围为(8, 9).

追问

怎么求出a的取值范围，可以具体一点吗？谢谢！

追答

因为是选择题,这里可以用一个有点技巧性的东西.
可以这样来考虑.因为有6个不同的实根,考虑一元二次方程的相关知识,当判别式Δ=0时,一元二次方程有两个相等实根.因此,只要不取等号,那么就不会有相等的实根.
四个选项中只有最后一个选项D不是闭区间,所以选D.

如果非要弄清楚所以然,这样来考虑问题.
首先需要知道一个定理,在复数范围内.对于一元方程,其次数是多少,它就有多少个根.
这里如果说6个实根其实哪个答案都没法保证,如果说6个根,那么可以得到答案D.且不去管这个了.
根据f(x)的解析式,
当x²+2x>0时, f(x²+2x)=(x²+2x)+1/(x²+2x), 令f(x)=a, 最后至多只是个一元四次方程,它最多有4个根,因此这里的x²+2x≤0
这样f(x²+2x)=(x²+2x)³+9=a
这是一个六次方程.
(x²+2x)³=a-9
当x²+2x≤0时, x²+2x∈[-1, 0]
当x²+2x=-1或0时, f(x)=a有两个三重实根,因此不能取等号.
因此只能有x²+2x∈(-1,0)
这样a-9∈(-1,0)
所以a∈(8,9)

追问

答案是选择C。

Answer 2

选D是错的，应该选C
a=9时，
-1≤x²+2x≤0， f(x²+2x)=a有两根
x²+2x>0, f(x²+2x)=a有4根，综合就有6个不同的实根
其它同上面网友的回答。

Answer 3

x²+2x≤0
所以-1<x²+2x<0
所以a的取值范围为(8, 9)

Answer 4

选c