Question

有关数列极限的若干问题

1.是否所有数列都有上极限和下极限（包括正无穷和负无穷）2上极限可以是负无穷吗，下极限可以是正无穷吗？3如果xn的极限是常数，yn的极限是正（负）无穷，则xn＋yn的极限是否一定为正（负）无穷？4把3中的‘极限’改成上（下）极限之后，是否还有类似结论成立？5若an 有下界，则an是否一定有下极限？下极限是否一定为常数（而非无穷）？

Answer 1

1 上极限的定义是数列中子列的极限的最大那个，也就是数列的聚点中最大那个，如果包括了广义极限，回答是是的，上下极限就是数列的一个聚点，如果数列有界则显然有聚点，有最大最小聚点，即为上下极限，如果补充定义无穷则任何数列都有上下极限。
2 无穷是广义极限，可以认为是也可以认为不是，看你的定义的极限是狭义的还是广义的
3是的因为xn的极限是常数c则当n足够大的时候xn和c相差很小，同理n足够大的时候yn会便得任意大，其和也是趋向于无穷大
4不是因为xn的上极限是c 但是下极限木有说明，则有可能趋向于负无穷大，则说明无论n多大xn都有可能是一个负的很大的数，可以抵消yn。同理可得下极限的情况
5刚才说了如果定义了无穷极限则数列一定有上下极限 下极限不一定是常数 因为|x|就是一个反例 有下界0 但上下极限包括极限都是无穷大

再说一句 一楼这个nao can 别没学过数学就来忽悠人

Answer 2

1、不是，2、不可以，3是的，4不一定，5、不一定