Question

设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax(a不等于0)求f(x)的单调递增区间,求使f(x)小于等于e^2对x属于[1,e]恒成立的a的值

设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax(a不等于0) 1.求f(x)的单调递增区间 2.求使f(x)小于等于e^2对x属于[1,e]恒成立的a的值(e为自然对数)

Answer 1

定义域为x>0
1） f'(x)=a^2/x-2x+a=-1/x *(2x^2-ax-a^2)=-1/x*( 2x+a)(x-a)=0得极值点x=a, -a/2
若a>0, 则当0<x<a时，f'(x)>0, （0，a)为单调增区间
若a<0, 则当0<x<-a/2时，f'(x)>0, （0.，-a/2)为单调增区间
2）当x∈[1,e]时，求f(x)的最大值
端点值f(1)=-1+a<=e^2， 得a<=e^2+1
f(e)=a^2-e^2+ae<=e^2, 得-2e=<a<=e
如果a∈[1,e], 极值点f(a)=a^2lna<=e^2lne=e^2 ， 因此a∈[1,e]满足要求
如果-a/2∈[1,e], 即a∈[-2e,-2],极值点f(-a/2)=a^2[ln(-a/2)-3/4]<=e^2, 因此a∈[-2e,-2]也满足要求。
如果a不在上述两个区间，则最大值必在端点，由上，得：-2e=<a<=e
综合得a的取值范围是[-2e,e]

Answer 2

1.f'(x)=a^2/x-2x+a=(-2x^2+ax+a^2)/x
=-2(x-a)(x+a/2)/x,(x>0),
a>0时0<x<a时f'(x)>0,f(x)↑；
a<0时0<x<-a/2时f'(x)>0,f(x)↑。
2.f(x)=a^2lnx-x^2+ax<=e^2,x∈[1,e],
<==>f(x)|max<=e^2,
(i)a∈[1,e]时,f(x)|max=f(a)=a^2lna<=e^2恒成立；
（ii)0<a<1时,f(x)|max=f(1)=a-1<e^2;
(iii)a>e时,f(x)|max=f(e)=a^2+ae-e^2<=e^2,
a^2+ae-2e^2<=0,
-2e<=a<=e,矛盾。
（iv)-a/2∈[1,e]即a∈[-2e,-2]时,f(x)|max=f(-a/2)=a^2[ln(-a/2)-3/4]<=a^2(1-3/4)<=e^2;
(v)-2<a<0时,-a/2<1,f(x)|max=f(1)=a-1<e^2;
(vi)a<-2e时，-a/2>e,f(x)|max=f(e)=a^2+ae-e^2<=e^2,
a^2+ae-2e^2<=0,
-2e<=a<=e,矛盾。
综上，a的取值范围是（0，e]∪[-2e,0).