Question

如图,Rt△abc中,∠abc=90°,以ab为直径的⊙o交ac于点d,过点d的切线交bc于e

求证：（1）DE=2分之1BC
（2）若tanC=2分之根号5，DE=2，求AD的长

Answer 1

1、证明：连接OD、OE
∵∠ABC＝90
∴BC切圆O于点B
∵DE切圆O于点D
∴BE＝DE
∵OB＝OD，OE＝OE
∴△OBE全等于△ODE
∴∠BOE＝∠DOE
∴∠BOD＝2∠DOE
∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠ODA
∴∠BOD＝∠OAD+∠ODA＝2∠ODA
∴∠DOE＝∠ODA
∴OE∥AC
∵OA＝OB
∴DE是△ABC的中位线
∴DE＝CE
∴DE＝BC/2
2、解：
∵DE＝BC/2,DE＝2
∴BC＝4
∵tanC=√5/2
∴AB/BC＝√5/2
∴AB＝2√5
∴AC＝√（AB²+BC²）＝√（20+16）＝6
∵AB为直径
∴∠ADB＝90
∵∠ABC＝90, ∠BAD＝∠CAB
∴△ABD相似于△ACB
∴AD/AB＝AB/AC
∴AD＝AB²/AC＝（2√5）²/6＝10/3