Question

如图，点E是边长为a的正方形ABCD的边AB上的一点，将△ADE沿DE翻折得到三角形FDE，将EF延长交DC的延长线于M

且ME=MD.(1)若AB=2AE,求：CM:CD的值。（2）若AB=nAE，求：CM:CD的值

Answer 1

且ME=MD，这不是条件，是结果。﹙∵∠DEF＝∠AED＝∠EDM,∴ME=MD﹚

.(1)是特款，直接作（2）。

作MH⊥DE  ⊿AED∽⊿HDM  DM/﹙DE/2﹚＝DE/AE  

AE＝a/n  DE＝a√﹙1+n²﹚/n  ∴DM＝a﹙1+n²﹚/﹙2n﹚  CM＝DM-a＝a﹙n-1﹚²/2n

CM:CD＝﹙n-1﹚²/2n

n＝2时 CM:CD＝1/4,﹙.(1)的答案﹚

Answer 2

作EG⊥CD交CD于G。
EM^2=EG^2+(DM-DG)^2
DM^2 =AB^2+(DM-AE)^2
=a^2+(DM-a/n)^2
=a^2+DM^2-2DM*(a/n)+(a/n)^2
2DM*(a/n)=a^2+(a/n)^2
=(n^2+1)a^2/n^2
DM=[(n^2+1)*a]/(2n)
CM=DM-a
=(n^2+1)*a/(2n)-[(2n)*a]/(2n)
=[(n-1)^2*a]/(2n)
CM:CD=[(n-1)^2*a]/(2n):[(2n)*a]/(2n)
=(n-1)^2/(2n)
当AB=2AE时：
CM:CD=1/4
当AB=nAE时：
CM:CD=(n-1)^2/(2n)

Answer 3

解：(1)连DH,DF=DA=DC,DH=DH

∴RT△DFH≅RT△DCH

∴FH=HC

延长DF交BC于G,连EG

同理：GB=GF

∠GHF=∠MHC

∴RT△GHF≅RT△MHC

∴CM=GF

∴CM=BG

因为∠BEF=∠ADF(同为∠AEF的补角)

∴∠BEG=∠ADE(等量的一半相等)

∴RT△BEG∼RT△ADE

∴BG/BE=EA/AD

因为AE=AB/2=AD/2

∴BG=BE/2

BE=AD/2

∴BG=AD/4⇒BG/AD=1/4

即CM/CD=1/4 

(2)ME=MD 是应该证明过程中的吧

作MG⊥ED,

因为AB∥CD

∴∠AED=∠MDE

又∠AED=∠MED

∴∠MED=∠MDE

∴ME=MD

DE=√((a^2)+((a/n)^2))=a√((1+(n^2)))/n

∴DG=a√((1+(n^2)))/2n

AE=a/n

RT△DAE∼RT△MGD

∴DG/AE=MD/DE

(a√((1+(n^2)))/2n)/(a/n)=MD/(a√((1+(n^2)))/n)

∴MD=(1+(n^2))a/2n

∴CM=MD-a=[(1+(n^2))a/2n]-a=[((1-n)^2)a]/2n

∴CM/CD=CM/a=((1-n)^2)/2n