Question

如图，△ABC中，外角∠ACD的平分线与∠ABC的平分线交于A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线交于点A2，

则∠A2与∠A有怎样的数量关系呢？继续做∠A2BC与∠A2CD的平分线交于点A3，如此下去可得A4……An。那么猜想∠An与∠A有怎样的数量关系？并求出∠A=32°时，∠A4的度数。谢谢，快，在线等……O(∩_∩)O~

Answer 1

解：
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180
∴∠ABC+∠ACB＝180-∠A
∵∠ACD＝180-∠ACB，CA1平分∠ACD
∴∠A1CD＝∠ACD/2＝（180-∠ACB）/2＝90-∠ACB/2
∵BA1平分∠ABC
∴∠A1BC＝∠ABC/2
∵∠A1CD是△A1BC的外角
∴∠A1CD＝∠A1+∠A1BC＝∠A1+∠ABC/2
∴∠A1+∠ABC/2＝90-∠ACB/2
∴∠A1＝90-（∠ABC+∠ACB）/2＝90-（180-∠A）/2＝∠A/2
同理可得：
∠A2＝∠A1/2＝∠A/4
∠A2＝∠A/2²
依次类推：∠An＝∠A/2 ⁿ
则当∠A＝32, n＝4时，∠A4＝∠A/2⁴＝32/2⁴＝2°

Answer 2

△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC；
∵A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=1/2（∠ACD-∠ABC）=1/2∠A；
∠A2=1/2∠A1=1/2²∠A，
∠A3=1/2∠A2=1/2³∠A，
依此类推，∠An=1/2ⁿ∠A
∠A=32°时，∠A4=1／2⁴×32=2