Question

高中数学竞赛平面几何

ABCD是圆的内接四边形，AC是圆的直径，BD垂直于AC，BD与AC的交点为E，F在DA的延长线上，连接BF，G在BA的延长线上，使得DG平行于BF，H在GF的延长线上，CH垂直于GF，求证：B,E,F,H四点共圆。

Answer 1

如图所示：令圆心为坐标圆点  半径为2【这个是为了计算出E、B、F、H的坐标，然后根据BFH的坐标求出一个圆的方程，如可以就出就可以证明三点BFH共圆，再把E的坐标带入同一个方程，如符合关系式，则四点EBFH四点共圆】 所以E(o,o) B(根号2，根号2）F（-根号2,3根号2）【F的坐标可先求出y轴与BF的交点P，在根据P,B两点求出所在直线，从而得出F的y值。具体见下：B(根号2，根号2） P（0,2根号2）根据两点公式求直线方程：（x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)得直线方程：根号2x+根号2y=4  再把F的x值=-根号2（F的x值与A的x的值一样为-根号2）得F的y值3根号2.】再求出H的坐标【根据三角形HPE为等腰直角三角形】H（-2根号2,2根号2）

设EBFH的圆的方程为x^2+y^2+Dx+Ey+F=0  把点BFH三点的坐标带入方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 

求得D=根号2   E=-3根号2  F=0    所以EBHF的圆的方程为x^2+y^2+根号2x-3根号2y=0  

再把点E（0,0）的方程带入  满足圆的方程。所以EBFH四点共圆！

Answer 2

证明：作点F关于直线AC的对称点点F', 易知点F'在AG上, ∠FEA=∠F'EA
∵BF //DG
∴FA/AD=BA/AG, 即FA×GA=AB×AD=AB²
∵∠GHC=∠GBC
∴G, H, B, C四点共圆
要证B, H, F, E四点共圆
需证∠BHF=∠FED
又∠BHF=∠BHC+90°=∠BGC+90°
∠FED=∠FEA+90°=∠F'EA+90°
所以需证∠F'EA=∠BGC, 即E, F', G, C四点共圆
而AE×AC=AB²=FA×GA=F'A×GA
得证.

Answer 3

fhdakhdhjddjhdujkkazfff23567878755230+-+

6666850

Answer 4

见图