Question

三重积分x^2+Y^2+z^2 区域(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2≤1 给个过程谢谢

Answer 1

先求三重积分x^2+y^2+z^2，积分区域是x^2+y^2+z^2<=1。
利用求左边变换，化为
积分（从0到pi）sin(theta)d(theta)积分（从0到2pi）d(phi)积分（从0到1）r^2*r^2dr
=2*2pi*1/5=4pi/5。
于是原积分=三重积分（(x--1)^2+(y--1)^2+(z--1)^2+2(x--1)+2(y--1)+2(z--1)+1+1+1）dxdydz
=三重积分（(x--1)^2+(y--1)^2+(z--1)^2）dxdydz+三重积分（3）dxdydz
=4pi/5+3pi
=19pi/5
其中第二个等号是因为x-1，y-1，z-1关于积分区域是奇函数，积分值是0.
第三个等号是因为3的积分是3倍的球的体积。