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本题你做错的原因是你把本题中的f(z)与高阶导数公式里的f(z)搞混了，所以你直接求f '(1)了。如果把题改一下，你就一定能做对了。改成“g(z)=那个积分”，求g'(1)，此时你是不是就能看清楚了，高阶导数公式中的f(z)其实就只是那个正弦函数。
我下面不改题做，本题要先求f(z)，再求导，再代入1.
当|z|<2时
f(z)=2πi[sin(πz/6)]'=(2πi)(π/6)cos(πz/6)=(π²i/3)cos(πz/6)
f '(z)=-(π²i/3)(π/6)sin(πz/6)=-(π³i/18)sin(πz/6)
f '(1)=-(π³i/18)sin(π/6)=-π³i/36
我下面不改题做，本题要先求f(z)，再求导，再代入1.
当|z|<2时
f(z)=2πi[sin(πz/6)]'=(2πi)(π/6)cos(πz/6)=(π²i/3)cos(πz/6)
f '(z)=-(π²i/3)(π/6)sin(πz/6)=-(π³i/18)sin(πz/6)
f '(1)=-(π³i/18)sin(π/6)=-π³i/36
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