Question

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明； （2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．

Answer 1

1.△CB'E≌△ADE
∵∠B'AC=∠BAC=∠DCA
∴CE=AE
又∠B'EC=∠DEA
∴Rt△CB'E≌Rt△ADE(HL)
2.作PF⊥AB于F，则
PF=PG
∵PF⊥AB，PH⊥DC，AB∥DC
∴F、G、H三点共线
∵DC=AB=8
B'E=DE=3
EC=DC-DE=5
∴B'C=4
∴PG+PH=PF+PH=BC=B'C=4

Answer 2

（1）△B'EC与△AED全等 证：∵∠ACB'=∠ACB=∠CAD 又∵∠CAB'=∠BAC=∠ACD
∴AE=CE ∠EAD=∠B'CE 又∵∠ADE＝∠CB'E ∴△B'EC与△AED全等 （2）PG+PH=4√7 证：∵△B'EC与△AED全等 ∴B'E=DE=3 EC=ED+DC=3+8=11 ∴B'C=√（11^2-3^2）=4√7 过P作PF垂直于B'C交B'C于F点
则四边形GPFB'为矩形
则GP=B'F
∵PH⊥CE AD⊥CE ∴∠HPC=∠DAC=∠ACB' 又∵PC=CP ∠PFC=∠CHP ∴△PFC与△CHP全等
则PH=CF
∴PG+PH=B'F+FC=B'C=4√7

Answer 3

1、三角形CBE
角D=角B’ 角CB‘E=角DEA B’E=DE可证
2、PG+PH=4
在三角形CB‘E中勾股定理可知B‘C=4
做PF垂直于AB
因为角B’AC=角CAB，且PF与PG为垂线
那么PF=PG
所以PG+PH=FH=BC=4

Answer 4

解：延长HP交AB于M，
由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=8-3=5．
在△ADE中，AD=4，
∵延长HP交AB于M，则PM⊥AB，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．