Question

已知a＞0，求证根号（a平方+1/a平方）－根号2＞＝a＋1/a－2

Answer 1

根号（a平方+1/a平方）－根号2
=(根号（a平方+1/a平方）－根号2)*(根号（a平方+1/a平方）+根号2)/(根号（a平方+1/a平方）+根号2)
=(a平方+1/a平方-2)/(根号（a平方+1/a平方）+根号2)
=((a+1/a)平方-4）/(根号（a平方+1/a平方）+根号2)
=((a+1/a-2)(a+1/a+2))/(根号（a平方+1/a平方）+根号2)
由于a+1/a-2>=0,所以只要上式中(a+1/a+2)/(根号（a平方+1/a平方）+根号2)>1就能证明要求的公式成立

Answer 2

证明：因为a＞0，由基本不等式，a²+1/a²≥2，√(a²+1/a²)≥√2 ，√(a²+1/a²)-√ 2≥ 0 ⑴
同理，a＋1/a≥2 ，a＋1/a-2≥0 （2），而a²+1/a²=(a＋1/a)^2-2＞a＋1/a-2,
所以，√(a²+1/a²)-√ 2≥a＋1/a-2。

Answer 3

a＞0，a＋1/a≥2，令t=a+1/a，则t≥2，a²+1/a²=(a+1/a)²-2=t²-2
故只须证： √(t²-2)-√2≥t-2。
只须证：t²-2≥(t-2+√2)²
只须证：-2≥2t(-2+√2)²+(-2+√2)²
即只须证：(t-2)(2-√2)≥0
因t≥2，2-√2>0，所以：(t-2)(2-√2)≥0，原结论得证。