Question

如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠DCB=90°,∠ADC=135°,AD=2,BC=3根号2，求四边形ABCD的面积

Answer 1

有两种情况

（1）如图1

分别延长BA、CD，相交于点E       ∵∠ADC=135°      ∴∠ADE=45°，又∵∠DAB=90°

∴⊿ADE中  ∠DAE=90°∠ADE=45°      ∴AE=AD=2，DE=2√2

∵∠BAD=∠DCB=90°,∠ADC=135°   ∴⊿EBC中  ∠EBC=45°∠BCE=90°

∴CE=BC=3√2       

∴S四边形ABCD=S⊿EBC－S⊿ADE=½BC·CE－½AD·AE =﹙3√2﹚²÷2－2²÷2=7 

（2）如图2

分别延长BA、CD，相交于点E      ∵∠ADC=135°      ∴∠CDE=45°，又∵∠DCB=90°

∴⊿CDE中  ∠DCE=90°∠EDC=45°      ∴DE=√2EC

∵∠BAD=∠DCB=90°,∠ADC=135°   ∴⊿EBA中  ∠EBA=45°∠BAE=90°

∴EB=√2AE     而AE=AD+DE=2+√2Ec    ∴EC+BC=EB 即3√2+EC=√2﹙2+√2Ec﹚

∴Ec=√2     ∴EB=4√2     ∴AE=4

∴S四边形ABCD=S⊿EBC－S⊿ADE=½AE²－½CE² =﹙4﹚²÷2－√2²÷2=7

Answer 2

延长BA、CD交于点E      

 ∵∠ADC=135°      ∴∠CDE=45°    ∠ABE=45°

∴⊿CDE、⊿CDE  均为等腰直角三角形 

ED=EC√2   

EB=EA√2 

3+EC=（2+ED）√2=（2+EC√2）√2

3+EC=2EC+2√2

EC=3-2√2

ED=EC√2=3√2-4

EB=2+DE=3√2-2

 ∴S四边形ABCD=S⊿EAB－S⊿CDE=½EB²－½EC²=2.5