Question

设a属于R，f(x)为奇函数，且f(x)=(a×2^x-a^-2)/(2^x+1)

(1)求a的值
(2)求函数f(x)的反函数f-1(x)
(3)设g(x)=log根号2( (1+x)/k ),若x属于[1/2,2/3]时，有f-1(x)≤g(x)恒成立，求k的取值范围

Answer 1

解：1）∵f(x)是奇函数
∴f(0)=(a-a^-2)/2=0
a=a^-2
则a=1
2）f(x)=(2^x-1)/(2^x+1)
=1-2/(2^x+1)
2/(2^x+1)=1-f(x)
2^x+1=2/(1-f(x))
2^x=2/(1-f(x))-1
x=log2[2/(1-f(x))-1]
则f-1(x)=log2[2/(1-x)-1]
∵f(x)=1-2/(2^x+1)
∴f(x)∈(-1.1)
则f-1(x)定义域为(-1,1)
3)g(x)=log√2((1+x)/k)=2log2((1+x)/k)
∵f-1(x)≤g(x)
∴log2[2/(1-x)-1]≤2log2((1+x)/k)
2/(1-x)-1≤(1+x)^2/k^2
k^2≤(1+x)^2/[2/(1-x)-1]=1-x^2
∵x∈[1/2,2/3]
∴1-x^2∈[5/9,3/4]
则k^2≤5/9
即-√5/3≤k≤√5/3

追问

f-1(x)是 f(x)的反函数 不是f-1（x）。。

追答

就是反函数呀
用y表示x嘛~~
也就是这步： x=log2[2/(1-f(x))-1]

追问

THANKS