Question

计算二重积分

其中D为圆X^2+Y^2=1及坐标轴所围成的第一象限闭区域。

Answer 1

二重积分的计算方法

Answer 2

化为极坐标：
原式=∫∫√[(1-r²)/(1+r²)] *rdrdθ
=∫[0--->2π]dθ∫[0--->1] √[(1-r²)/(1+r²)] *rdr
=2π∫[0--->1] √[(1-r²)/(1+r²)] *rdr
=π∫[0--->1] √[(1-r²)/(1+r²)] d(r²)
令r²=u
=π∫[0--->1] √[(1-u)/(1+u)] du
分子分母同乘以√(1-u)
=π∫[0--->1] √[(1-u)²/(1-u²)] du
=π∫[0--->1] (1-u)/√(1-u²) du
=π∫[0--->1] 1/√(1-u²) du-π∫[0--->1] u/√(1-u²) du
=πarcsinu-(π/2)∫[0--->1] 1/√(1-u²) d(u²)
=πarcsinu+π√(1-u²) [0--->1]
=π²/2-π

Answer 3