Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c(a≠0）的对称轴为x=-1，

已知：抛物线y=ax²+bx+c(a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）
（1）求这条抛物线的表达式。
（2）已知在对称轴上存放一点P，使得△PBC的周长最小。请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O，点C重合）。过点D做DE//Pc叫x轴于点E。连接PD，PE。设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）A，C为交点，代入方程有9a-3b+c=0和c=-2；对称轴x=-1，则-b/2a=-1。联立可求解。
（2）P在对称轴上，则P点坐标可表示为（-1，yp）。BC长度恒定，使得△PBC周长最小只需PB+PC的长度最小即可。又根据三角不等式a+b>=2*根号下a*b，仅当a=b取等号，则周长最小时PB=PC。B点坐标可根据抛物线方程计算。根据两点距离公式可以得到：(xb+1)^2+(yb-yp)^2=(xc+1)^2+(yc-yp)^2，可以求解yp。
（3）CD的长为m，OC=2，则D点坐标可表示为(0，m-2)。DE//PC，斜率相等，则(xe-xd)/(ye-yd)=(xp-xc)/(yp-yc)，可以求得E点坐标为xe。设对称轴与x轴的交点为F，则点PFOD构成直角梯形，包含两个直角三角形PFE和OED，以及待求△PDE。则S=梯形面积-三角面积PFE和OED。也即S=0.5*（PF+OD）*OF-0.5*PF*FE-0.5*OE*OD。各边长度均可直接计算。化简之后得到
S=(-2/7)(m*m-m).
对上式配方处理为S=(-2/7)(m-1)^2+2/7。很明显S有最大值2/7，此时m=1。