Question

若（1/2+2x)^n展开式前三项的二项式系数之和为79，求展开式中系数最大的项

Answer 1

第一项的二项式系数：1，,第二项的二项式系数：n，第三项的二项式系数：n*(n-1)/2
三项和为：1+n+n*(n-1)/2=79,整理得：n^2+n-156=0，解得：n=-13(舍去),n=12
原式可化为：[(1/2)^12]*(1+4x)^12
可以只考虑 (1+4x)^12 的系数的最大值，第K项的系数记为CK=4^(k-1)*C(12)(K-1),其中4^(k-1)递增，Cn(K)在k=7时最大，之后递减，且C(12)(7)=6/7*C(12)(6)，4^7=4*4^6,所以C7>C6
由此推出，当k/(n-k+1)<4时，CK递增，k/(n-k+1)>4时，CK递减，又因为10/3<4,11/2>4,
所以k=10时系数为：[(1/2)^12]*4^9*C(12)(9)=2^6*12*11*10/(1*2*3)=64*220=14080
此项为：14080*x^9
k＝11时系数为：[(1/2)^12]*4^10*C(12)(10)=2^8*12*11/(1*2)=256*66=16896
当k＞11时CK递减，所以
系数最大项为：16896*x^10

Answer 2

Cn1+Cn2+Cn3=79=1+n+(n-1)n/2
n=12
最大T6+1=C12 6*(1/2)^6*(2x)^6=924x

追问

答案错了...