Question

函数f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+1)的值域为

Answer 1

f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+1)
=1+x/(x^2+1)
=1+1/(x+1/x)
当x>0时x+1/x≥2,f(x)≤1+1/2=3/2
当x<0时x+1/x≤-2,f(x)≥1-1/2=1/2
当x=0时，f(x)=1
因此值域[1/2,3/2]

Answer 2

f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+1)
=[(x^2+1)+x]/(x^2+1)
=1+x/(x^2+1)
令z(x)=x/(x^2+1)
则z'=(1-x^2)/(x^2+1)^2
令z'=0 则 (1-x^2)=0 得x1=-1 x2=1
x<-1 时 z'<0 函数z(x)单调递减
-1<x<1时，z'>0 函数z(x)单调递增
x>1时 函数z(x)单调递减
所以z(x)在x=-1处取得极小值，亦即最小值 z(-1)=-1/2
z(x)在x=1处取得极大值，亦即最大值 z(1)=1/2
所以f(x)的值域是【1+z(-1),1+z(1)】
即【1/2,3/2】