Question

若a,b,c都是正数，且a+b+c=1，求证:(1-a)(1-b)(1-c)大于等于8bc

Answer 1

将1代换为a+b+c
即（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=（(a+b+c)/a-1)((a+b+c)/b-1)((a+b+c)/c-1)
=(b+c)/a*(a+c)/b*(a+b)/c
=(a+b)*(b+c)*(a+c)/(abc)

均值定理a+b>=2*根号ab
a+c>=2*根号ac
b+c>=2*根号bc
三个不等式相乘(a+b)*(b+c)*(a+c)>=8(abc)
所以(a+b)*(b+c)*(a+c)/(abc)>=8
所以（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8

Answer 2

(1-a) = b + c >= 2√（bc）
(1-b) = a + c >= 2√（ac)
(1-c) = a + b >= 2√（ab)

三式相剩，得：（1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc

Answer 3

(b+c)>=2倍根号下(bc)
(a+c)>=2倍根号下(ac)
b+a>=2倍根号下(ba)
以上均值定理
三个式子对应乘法
（a+b)(a+c)(b+c)>=8abc （1）
a+b+c=1
所以（a+b)=1-c
(a+c)=1-b
(b+c)=1-a 代入（1）
:(1-a)(1-b)(1-c)大于等于8abc 得证

Answer 4

题目错了吧，应该是大于等于8abc