Question

求点(3,-1,2)到直线x+y-z+1=0,2x-y+z-4=0的距离

Answer 1

求点P(3,-1,2)到直线L: x+y-z+1=0,2x-y+z-4=0的距离.
解：x+y-z+1=0..........①；2x-y+z-4=0............②
令x=1；代入①②都得y-z=-2；因此可在直线L上取M(1，-2，0)和N(1，2，4)两点，
那么直线的方向数为{1-1，2+2，4-0}={0，4，4}
故直线L的标准方程为：(x-1)/0=(y+2)/4=(z-0)/4；即(x-1)/0=(x+2)/4=z/4..........③
过P(3，-1，2)作平面α垂直于直线L，那么可取直线L的方向数作为平面α的法向矢量，
故平面α的方程为：0(x-3)+4(y+1)+4(z-2)=4y+4z-4=0；即y+z-1=0.............④
下面求出L与平面α的交点的坐标：令(x-1)/0=(y+2)/4=z/4=t；则直线L的参数方程为：
x=1；y=4t-2；z=4t；代入α的方程④，得8t-3=0；故t=3/8;
于是得x=1；y=(3/2)-2=-1/2；z=3/2；即直线L与平面α的交点Q(1，-1/2，3/2);
∴点P与直线L的距离h=∣PQ∣=√[(3-1)²+(-1+1/2)²+(2-3/2)²]=√[4+(1/4)+(1/4)]
=√(18/4)=(3/2)√2.

Answer 2

1.
先求出过点与直线的垂直的平面：
法向量为n=|i j k
1 1 -1
2 -1 1|
=(0,-3,-3)=-3(0,1,1)
所以
平面为：（y+1）+(z-2)=0
y+z-1=0
2.
求出交点
x+y-z+1=0,
2x-y+z-4=0
y+z-1=0
解得
x=1
y=-1/2
z=3/2
3. 距离
d=√(3-1)²+(-1+1/2)²+(2-3/2)²=(3√2)/2

追问

这个最后一步的距离，您用的什么公式呢