Question

高三函数题

已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3,当x[1,2]时，f(x)<2x-2恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

解：
由题设可知，在区间[1,2]上，恒有：
x|x-a|+2x-3＜2x-2
∴恒有：x|x-a|＜1
|x-a|＜1/x
-1/x＜x-a＜1/x
∴当1≤x≤2时，恒有x-(1/x)＜a＜x+(1/x)
构造函数g(x)=x+(1/x), h(x)=x-(1/x). 1≤x≤2
易知，恒有：2≤g(x)≤5/2. 0≤h(x)≤3/2
∴由题设可得：3/2＜a＜2

Answer 2

x|x-a|+2x-3<2x-2恒成立，等价于
x|x-a|<1
-1/x<a-x<1/x
x-1/x<a<x+1/x恒成立
因为x-1/x在x∈[1，2]上增，最大值是 x-1/x=2-1/2=3/2
x+1/x在x∈[1，2]上增，最小值是2 x+1/x=1+1/1=2
所以3/2<a<2

Answer 3

x|x-a|+2x-3<2x-2，则|x-a|<1/x，-1/x<x-a<1/x，即x-1/x<a<x+1/x。
设g(x)=x-1/x、h(x)=x+1/x，当1<=x<=2时，可求得g(x)的最大值是3/2，h(x)的最小值是2。
所以实数a的取值范围是[3/2,2]。