Question

如图1，Rt△ABC与Rt△CDE，∠ABC=∠CDE=90°，BC=k•AB，CD=k•DE，M为AE中点，

探究：线段BM与DM的数量关系；

Answer 1

BM＝DM。　证明如下：
延长AB至F，使FB＝AB、再延长ED至G，使GD＝ED。
∵BC＝kAB、CD＝kDE，∴BC/CD＝AB/DE，又∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC，
∴∠ACB＝∠ECD，∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE。

∵AF⊥BC、AB＝FB，∴AC＝FC、∠ACB＝∠FCB，∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCE＋∠FCE，
∴∠BCE＋∠BCD＝∠ACD＋∠FCE，∴∠ECD＝∠ACD＋∠FCE。

∵GE⊥DC、GD＝ED，∴GC＝EC、∠GCD＝∠ECD，∴∠ACG＋∠ACD＝∠ECD，
∴∠ACG＋∠ACD＝∠ACD＋∠FCE，∴∠FCE＝∠ACG。

由EC＝AC、EC＝GC、∠FCE＝∠ACG，得：△FCE≌△ACG，∴FE＝AG。
∵B、M分别是AF、AE的中点，∴BM＝FE/2、∵M、D分别是AE、EG的中点，∴DM＝AG/2。
由FE＝AG、BM＝FE/2、DM＝AG/2，得：BM＝DM。