Question

求解一道高一数学题，要详细解题过程。

已知a＞0，b＞0，a+b=2.求y=1/a+4/b的最小值.

Answer 1

已知a＞0，b＞0，a+b=2.求y=1/a+4/b的最小值.
解析：∵a＞0，b＞0，a+b=2
∴a=2-b
∴y=F(b)=1/(2-b)+4/b (0<b<2)
令F’(b)=1/(2-b)^2-4/b^2=0==>b1=4/3,b2=4(舍)
0<b<4/3时，F’(b)<0；4/3<b<2时，F’(b)>0
∴y在x=4/3处取极小值F(4/3)=3/2+3=9/2

追问

令F’(b)=1/(2-b)^2-4/b^2=0==>b1=4/3,b2=4(舍)
这里看不懂，为什么分母要平方，然后令F’(b)=0 ?

追答

这里求函数的最小值是应用导数的方法，你没有学，就用下面的方法：
∵a>0,b>0,a+b=2
y=1/a+4/b=(a+b)/(2a)+2(a+b)/b=5/2+b/(2a)+2a/b
∵b/(2a)>0,2a/b>0
∴b/(2a)+2a/b>=2
当且仅当b/(2a)=2a/b==>4a^2=b^2时,以上不等式取等号
∴a=2/3,b=4/3时，y取最小值9/2

Answer 2

a+b=2.
所以1/2（a+b）=1
2（a+b）=4
代入得 原式等于1/2+b/2a+2+2a/b=5/2+(b/2a+2a/b）
所以最大值=5/2+2

Answer 3

因为a+b=2，所以（a+b）/2=1,方程中的1用（a+b）/2代替。
y=1/a+4/b=[（a+b）/2] /a+4*[（a+b）/2]/b=1/2+b/2a+2a/b+2=5/2+b/2a+2a/b
由a^2+b^2≥2ab得到b/2a+2a/b≥2，此时a=2/3,b=4/3.
最小值是5/2+2=9/2=4.5